\documentclass[12pt, a4paper, onecolumn]{article} % Alternativ: {report}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{graphicx}       	% For å inkludere figurer
\usepackage{ulem}			% Underline, uuline = "`svar"'
\setcounter{secnumdepth}{0} 	% \section nummereres ikke
%\usepackage{enumitem}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath}        	% align, matriser osv.
%\usepackage[all]{xy}
%\usepackage{subfigure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Justeringer av defaultverdier for teksten på siden:
\setlength{\textheight}{220mm} 
\setlength{\textwidth}{150mm}  
\topmargin -12mm 
\textheight 24.5cm
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0mm
%\setlength{\parindent}{5mm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%For å justere hvordan lister ser ut
%\usepackage{tweaklist}
%\renewcommand{\itemhook}{
%	\setlength{\topsep}{0pt}
%  	\setlength{\itemsep}{0pt}
%  }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newenvironment{kapittel}[3][kapittel]
{\begin{center} {\vspace{1cm}\Large Sammendrag #1 {\slshape #2 - #3}} \end{center} \begin{itemize}}
{\end{itemize}}

\newenvironment{del}[1][]
{\item[] \uline{#1} \begin{itemize}}
{\end{itemize}}


\newcommand{\boxeq}[1]{
\begin{center}
	\fbox{\mbox{$\displaystyle #1$}}
\end{center}}
\newcommand{\dx}{\mbox{dx}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\begin{kapittel}{1}{Aritmetikk og algebra}
	\begin{del}[Regneregler for brøker]
		\item Utvide brøk: Gang med samme tall i teller og nevner.
			\begin{align*}
				\dfrac{a}{b}&=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}
			\end{align*}
		\item Forkorte brøk: del med samme tall i teller og nevner.
			\begin{align*}
					\dfrac{a}{b}&=\dfrac{a:k}{b:k}
			\end{align*}
		\item Summere brøker: Finn fellesnevner, legg deretter sammen tellerne.
			\begin{align*}
					\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{cd}&=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot d}+\dfrac{c}{bd}\\
																		&=\dfrac{a\cdot b+c}{bd}
			\end{align*}
		\item Gange brøker: Ganger tellerne med hverandre og nevnerne med hverandre.
			\begin{align*}
					\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}&=\dfrac{ac}{bd}\hspace{2.5cm}a\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{1}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{1\cdot d}=\dfrac{ac}{d}
			\end{align*}
		\item Dividere med brøk: Multipliserer i stedet med omvendt brøk.
			\begin{align*}
					\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}&=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}
			\end{align*}
	\end{del}
	
	\begin{del}[Kvadratsetningene]
		\item Første kvadratsetning: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
		\item Andre kvadratsetning: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
		\item Tredje kvadratsetning (konjugatsetningen): $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
	\end{del}
	
	\begin{del}[Faktorisering]
		\item Et uttrykk er faktorisert dersom det bare består av ett ledd.
	\end{del}
\end{kapittel}

\begin{kapittel}{2}{Potenser og røtter}
	\begin{del}[Regneregler for potenser]
		\item[$\bullet$] $a^0=1$
		\item[$\bullet$] $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
		\item[$\bullet$] $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
		\item[$\bullet$] $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
		\item[$\bullet$] $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
		\item[$\bullet$] $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
		\item[$\bullet$] $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$
	\end{del}
	
	\begin{del}[Standardform]
			\begin{align*}
				\pm a\cdot 10^n
			\end{align*}
		\item[] der $1\leq a<10$ og n er et helt tall.
		\item Positiv eksponent: hvor mange plasser kommaet er flyttet mot høyre.
		\item Negativ eksponent: hvor mange plasser kommaet er flyttet mot venstre.
	\end{del}
	
	\begin{del}[Røtter]
		\item $\sqrt[n]{x}=a$ dersom $a^n=x$ ($\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$).
		\item Er n et partall må $\sqrt[n]{x}$ være \textit{positivt}.
	\end{del}			
\end{kapittel}

\begin{kapittel}{3}{Grafer og funksjoner}
	\begin{del}[Rett linje]
		\item $y=ax+b$ gir en rett linje.
		\indent\item[$\bullet$] $b$ sier hvor linjen skjærer andreaksen.
		\indent\item[$\bullet$] $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_2}{x_2-x_1}$
		\item En rett linje med stigningstall $a$, som går gjennom punktet $(x_1,y_1)$ har likningen
		\begin{align*}
			y-y_1=a(x-x_1) \mbox{  (ettpunktsformelen)}
		\end{align*}
	\end{del}
	
	\begin{del}[Funksjon]
		\item $y$ er en funksjon av $x$ hvis hver mulig verdi for $x$ gir nøyaktig én verdi for $y$.
	\end{del}
	
	\begin{del}[Nullpunkt]
		\item $x$ er et nullpunkt for $f$ dersom $f(x)=0$.
	\end{del}
	
	\begin{del}[Løse likningssett grafisk]
		\item Ser hvor likningene skjærer hverandre, dvs  hvor de er like. 
	\end{del}
\end{kapittel}

\begin{kapittel}{4}{Likninger og likningssystemer}
	\begin{del}[Regneregler]
		\item[$\bullet$] $a-b=c \Rightarrow a=b+c$
		\item[$\bullet$] $a=d \Rightarrow a-b=d-b$
		\item[$\bullet$] $a=d \Rightarrow a\cdot b=d\cdot b$ og $\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{b}$ når $b\neq 0$
	\end{del}
	
	\begin{del}[Produktregelen]
		\item Dersom $a\cdot b=0$ så er $a=0$ eller $b=0$.
	\end{del}
	
	\begin{del}[Andregradsformelen]
		\item Andregradslikningen $ax^2+bx+c=0$ har løsningene
			\begin{align*}
				x&=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, a\neq 0
			\end{align*}
	\end{del}
	
	\begin{del}[Høyere grads likninger]
		\item Se om du kan faktorisere ut den ukjente
		\item Se om ligningen kan skrives om med en $u$ slik den ligner andregradslikningen.
	\end{del}
	
	\begin{del}[Innsettingsmetoden]
		\item Løs én av likningene for en av variablene, sett den nye likningen inn i den andre opprinnelige ligningen.
		\item Kan også løse likningssett der den ene likningen er ikke-lineær med denne fremgangsmåten
	\end{del}
\end{kapittel}
		

\begin{kapittel}{5}{Polynomer og ulikheter}
	\begin{del}[Ulikheter]
		\item Løses på nesten samme måte som likninger
		\item Vi kan flytte ledd over på andre siden av ulikhetstegnet hvis vi også skifter fortegn på det.
			\begin{align*}
				x+ 3 &> 0 \\
				x &> -3
			\end{align*}
		\item Vi kan gange og dele på tall som ikke er null på begge sider
			\begin{align*}
				3x &> 9 \\
				x &> 3
			\end{align*}
		\item Hvis tallet er negativt må vi snu ulikhetstegnet
			\begin{align*}
				-3x &> 9\\
				x &< -3 
			\end{align*}
		\item Ulikheter med brøk eller av grad $\geq2$ løses med fortegnslinje
	\end{del}

	\begin{del}[Nullpunktsetningen]
		\item Polynomet $P(x)$ har faktoren $(x-x_0)$ hvis og bare hvis $P(x_0)=0$.	
	\end{del}
	
	\begin{del}[Faktorisering av andregardsuttrykk]
		\item Dersom et andregradsuttrykk ikke har nullpunkter kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer.
		\item Dersom andregradsuttrykket $ax^2 + bx + c$ har nullpunktene $x=x_1$ og $x=x_2$ er
			\begin{align*}
				ax^2 +bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)
			\end{align*}
		\item Dersom andregradsuttrykket $ax^2 + bx + c$ har bare det ene nullpunktet $x=x_1$, er
			\begin{align*}
				ax^2 +bx+c = a(x-x_1)^2
			\end{align*}
	\end{del}
\end{kapittel}

\begin{kapittel}{7}{Grenseverdier og Asymptoter}
	\begin{del}[Kontinuerlige funksjoner]
		\item En funksjon er kontinuerlig hvis grafen er ei kontinuerlig kurve.\\ Funksjonen er kontinuerlig for $x=a$ hvis 
			\begin{align*}
				\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
			\end{align*}
	\end{del}
	\begin{del}[Grenseverdier for polynomer]
		\item Alle polynomfunksjoner er kontinuerlige og vi kan finne grenseverdier ved innsetting
			\begin{align*}
				\lim_{x \to 1} \left( x^2+2x-1 \right) = \left( 1^2 + 2\cdot 1 -1 = 2 \right)
			\end{align*}
	\end{del}
	\begin{del}[Grenseverdier for rasjonale uttrykk]
		\item Dersom nevneren ikke blir null, finner vi grenseverdien ved insetting.
		\item Dersom teller og nevner blir null må vi forkorte. Da må vi ofte først faktorisere.
		\item Dersom nevneren blir null uten at telleren blir null, finnes ikke grenseverdien. Utteykket nærmer seg $\pm \infty$
	\end{del}
	
	\begin{del}[Grenseverdier når $x \to + \infty$ eller $ x \to - \infty$]
		\item Hvis $P(x)$ og $Q(x)$ er to polynomer og vi skal regne ut
			\begin{align*}
				\lim_{x \to \pm \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}.
			\end{align*}
		Må vi gange med $\frac{1}{x^n}$ der $n$ er graden til polynomet $Q(x)$.
			\begin{align*}
				\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 + x}{x^3+4x^2} &= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^3} + \frac{x}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{4x^2}{x^3}}\\
				  = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x}} = \frac{0+0}{1+0} = \frac{0}{1} = 0.
			\end{align*}
	\end{del}
	\begin{del}[Vertikal asymptote]
		\item Linja $x=x_0$ er en vertikal asymptote for en funksjon $f(x)$ hvis
			\begin{align*}
				f(x) \to \pm \infty \  \text{når} \  x \to x_0
			\end{align*}
			Vi finner en vertikal asymptote for en brøk ved å sette nevneren lik null. og forsikre oss om at telleren ikke er null samtidig
			$\frac{x^2 -1}{(x+2)}$ har vertikal asymptote for $x=-2$ siden $x+2=0 \Rightarrow x=-2$. I telleren $2^2-1 = 3 \Rightarrow \frac{3}{0}$ og vi får en asymptote.
	\end{del}
	\begin{del}[Horisontal asymptote]
		\item Linja y = a er en horisontal asymptote for $f(x)$ hvis
			\begin{align*}
				\lim_{x \to \pm \infty} f(x) &= a\\
				\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 +3x}{x^2-1} &= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2} +\frac{3x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}
				=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 +\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1+0} = 2
			\end{align*}
	\end{del}
	\begin{del}[Skrå asymptote]
		\item Funksjonen
			\begin{align*}
				f(x) = ax+b + \frac{c}{dx+g}
			\end{align*}
			har skrå asymptote $ax+b$ og vertikal asymptote når $dx+g = 0$.
	\end{del}
\end{kapittel}

\begin{kapittel}{11}{Logaritmer og eksponentialfunksjoner}
	\begin{del}[Den briggske logaritmen]
		\item Den briggske logaritmen til $a$, dvs lg $a$, er det tallet vi må opphøye 10 i for å få $a$.
		\item[] \boxeq{10^{\lg a}=a}
	\end{del}
	\begin{del}[Den naturlige logaritmen]
		\item Den naturlige logaritmen til $x$, ln $x$, er det tallet vi må opphøye $e$ i for å få $x$.
		\item[] \boxeq{e^{\ln a}=a}
	\end{del}
	\begin{del}[Regneregler for logaritmer]
		\item Disse regnereglene gjelder både for naturlige og briggske logaritmer.
		\item[$\bullet$]$\log a^x=x\cdot \log a$
		\item[$\bullet$]$\log (a\cdot b)=\log a + \log b$
		\item[$\bullet$]$\log \dfrac{a}{b}= \log a-\log b$
	\end{del}
	\begin{del}[Derivasjonsregler]
		\item[$\bullet$] $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
		\item[$\bullet$] $(\ln u(x))' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$
		\item[$\bullet$] $(e^x)'= e^x$
		\item[$\bullet$] $(e^{u(x)})' = e^{u(x)}\cdot u'(x)$
	\end{del}
\end{kapittel}

\begin{kapittel}{15}{Ubestemte integraler}
	\begin{del}[Antiderivert]
		\item $F$ er den antideriverte til $f$ hvis \[ F'(x) = f(x) \]
		\item Dersom $F'(x) = f(x)$, er 
			\[\int f(x) \mbox{dx} = F(x) +C\]
		\item ! Legger til en C siden konstanten forsvinner ved derivasjon 
			\[ \int a\cdot f(x)+b\cdot g(x) \mbox{dx} = a\cdot F(x) b\cdot G(x) +C\]
	\end{del}
	
	\begin{del}
		\item[$\bullet$] $\displaystyle \int x^r \dx= \frac{1}{r+1}x^{r+1} +C$
		\item[$\bullet$] $\displaystyle \int \frac{1}{x} \dx =  \ln{|x|}+C$
		\item[$\bullet$] $\displaystyle \int \frac{1}{x+1} \dx = \ln{|x+a|}+C$
		\item[$\bullet$] $\displaystyle \int e^{x} \dx = e^x + C$
		\item[$\bullet$] $\displaystyle \int e^{kx} \dx = \frac{1}{k}e^x + C$
		\item[$\bullet$] $\displaystyle \int a^x \dx = \frac{1}{\ln{a}} \cdot a^x +C \text{ når }a\neq 1$
	\end{del}
\end{kapittel}

\begin{kapittel}{16}{Bestemte integraler}
	\begin{del}[Antiderivert]
		\item Hvis $F$ er en antiderivert til $f$ er
			\boxeq{\int_a^b f(x) \dx = F(b) - F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b}
	\end{del}
	\begin{del}[Arealet mellom en graf og x-aksen]
		\item La A være arealet av flaten avgrenset av x-aksen, funksjonen $f(x)$ og linjene $x=a$ og $x=b$.
			\begin{itemize}
				\item[$\bullet$] $f(x) > 0$ mellom $a$ og $b$: $\displaystyle A = \int_b^a f(x) \dx$
				\item[$\bullet$] $f(x) < 0$ mellom $a$ og $b$: $\displaystyle A = -\int_b^a f(x) \dx$
			\end{itemize}
	\end{del}
	\begin{del}[Arealet mellom to grafer]
		\item Hvis arealet $A$ ligger mellom $x=a$, $x=b$ og $f(x)$ og $g(x)$, når $f(x) \geq g(x)$ mellom $x=a$ og $x=b$, er det
		\boxeq{A = \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right)\dx}
	\end{del}
\end{kapittel}

\begin{kapittel}{6}{Trigonometri i grader}
	\begin{del}
		\setlength{\unitlength}{0.5cm}
			\begin{picture}(10, 6)
			\put(0,1){\line(1,0){8}}
			\put(8,1){\line(0,1){6}}
			\put(0,1){\line(4,3){8}}
			
			\put(1,0){\text{Hosliggende katet}}
			\put(9,3){\text{Motstående katet}}
			\put(1.7,5){\text{Hypotenus}}
			\put(01,1.2){v}
		\end{picture}\\
		\item $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}$
		\item $\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}$
		\item $\displaystyle \tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}$
	\end{del}
	
	\begin{del}[Arealsetningen]
		\item For enhver trekant der to sider, a og b, og vinkelen v mellom de, er kjent, er arealet
			\boxeq{A = \frac{1}{2}ab \sin v}
	\end{del}
	
	\begin{del}[Enhetssirkelen]
		\begin{figure}[!h]
			\centering
				\includegraphics{enhetssirkel.pdf}
			\label{fig:enhetssirkel}
		\end{figure}
		\item Punktet P har koordinatene $(\cos v, \sin v)$
		\item Hvis:
			\begin{itemize}
				\item[$\bullet$] $\sin v = \sin(v + n\cdot 360^{\circ})$
				\item[$\bullet$] $\cos v = \cos(v + n\cdot 360^{\circ})$
			\end{itemize}
	\end{del}
	
	\begin{del}[Trigonometriske formler]
		\item For alle vinkler $u$ og $v$:
		\item[$\bullet$] $ \sin(u+v) = \sin(u)\cos(v) + \cos(u)\sin(v)$ 
		\item[$\bullet$] $ \sin(u-v) = \sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)$ 
		\item[$\bullet$] $ \cos(u+v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$
		\item[$\bullet$] $ \cos(u-v) = \cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)$ 
		\item[$\bullet$] $ \tan(u+v) = \frac{\tan(u)+\tan(v)}{1-\tan(u)\tan(v)}$
		\item[$\bullet$] $ \tan(u-v) = \frac{\tan(u)-\tan(v)}{1+\tan(u)\tan(v)}$
		\item[$\bullet$] $ \sin(2v) = 2\sin(v)\cos(v)$
		\item[$\bullet$] $ \cos(2v) = \cos^2(v) - \sin^2(v)$
		\item[$\bullet$] $ \tan(2v) = \frac{2\tan(v)}{1-\tan^2(v)}$
		\item[$\bullet$] $ \cos^2(v) + \sin^2(v) = 1$
		\item[$\bullet$] $ \cos(-v) = \cos(v)$
		\item[$\bullet$] $ \sin(-v) = -\sin(v)$
		\item[$\bullet$] $ \sin(90^{\circ} -v) = \cos(v)$
		\item[$\bullet$] $ \cos(90^{\circ} -v) = \sin(v)$
		\item[] \boxeq{\text{Det er ikke nødvendig å huske tabellen over eksakte trigonometriske verdier.}}
	\end{del}
\end{kapittel}

\begin{kapittel}{9}{Geometri}
	\begin{del}[Optimering]
		\item Vi kan optimere areal, volum eller overflate ved å derivere og bruke en betingelse.
	\end{del}
	\begin{del}[Sinussetningen]
		\item For en trekant med vinkler A, B og C og sidene a,b og c gjelder det at
		\item[] \boxeq{\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}}
		\item Ved å ta det inverse av formelen over kan det også vises at
		\item[] \boxeq{\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}}
	\end{del}
	\begin{del}[Cosinussetningen]
		\item Hvis vi en trekant kjenner sidene b,c og den mellomliggende vinkelen v, er motstående siden a til vinkelen v gitt ved
		\item[] \boxeq{a^2=b^2+c^2-2bc \cos v}
	\end{del}
\end{kapittel}

\end{document}